答え：8×（３−７÷４）＝10
(解説）この問題の難しさは分数を使わないとできないことです。他にも分数を使わないとできない数字の組が３組だけあります。1,1,9,9と1,3,3,7と1,1,5,8です。
4つの数を使って１０を作る問題のなかで、分数を使わないとできない問題を作るとすると、答えは(タイプ1)（A＋B/X)×Y＝10
または(タイプ2)Y÷(A＋B/X)=10という形になるしかない（ただしB／Xは整数でない、かつBは負でもよい）。
まずタイプ１から検討する。書き換えると、(AX＋B)×（Y/X)＝10
ここで、BYはXで割り切れ、BはXで割り切れてはならない（割り切れると、分数が出てこない）ので、YとXは２より大きい共通因数をもつ。Yの値によって分類しよう。
Y＝1,２,５はありえない。何故なら、Y＝2とすると、A-B/X＝5となってB/Xが整数になってしまう。1,5も同様。
Y＝３のとき、
X＝３ならば、３A＋B＝10だから、（A,B）＝（1,7）,（2,4）,（3,1）Bがマイナスなら、（4,2）,（5,5）（6,８）
X＝９ならば、３A＋B＝30だから、（A,B）＝（８,6）,（9,３）。（（7,9）はB／Xが整数になる）
Y＝4のとき、
X＝2ならば、2A＋B＝５,（A,B）＝（1,3）,（２,１）,,（3、1）、（４,3）,（５,5）,（6,7）,（7,9）
X＝４ならば4A＋B＝１０だから（A,B）＝（１,６）,（２,２）,（3,2）（4.６）
X＝6ならば,（6A＋B）×4＝60より6A＋B＝15である。（A,B）＝（2,3）,（3,3）,（４,9）
X＝８ならば、8X＋B＝20。（A,B）＝（２,4）,（3,４）
Y＝６のとき、
X＝2だと、（2A＋B）×3＝10となって、ありえない。
X＝3のとき、3A＋B＝5。よって、（A,B）＝（１,2）,（２,1）,（3,4）,（4,7）
X＝4のとき、（4A＋B）×6＝40でありえない。
X＝6のとき、6A＋B＝10。（A,B）＝（１,4）,（2,2）,（3,8）
X＝８のとき、2,4と同様でありえない。
X＝9のとき、（9A＋B）×６＝90 より9A＋B＝15、よって（A,B）＝（１,6）,（2,3）
Y=7のとき、
X＝７しかない。７A＋B＝10より、（A,B）＝（1,3）,（2,4）
Y＝８のとき
X＝2だと、（２A＋B）×４＝10となってありえない。
X＝４のとき、4A＋B＝5だから、（A,B）＝（1,1）,（2,3）,（３,7）。この最後のケースが最初の問題である。
X＝６のとき、（6A＋B）×８＝60で不可。
X＝８のとき、８A＋B＝10 より、（A,B）＝（1,2）,（2,6）
Y＝9のとき
X＝3は、（3A＋B）×3＝10となって、ありえない。
X＝９のとき、9A＋B＝10から、（A,B）＝（1,1）,（2,8）
このように４２個の組が得られる。もちろん、このなかには、分数や少数を使わないで、10を作れる組が含まれている。他の方法で、10が作れないかを吟味してみよう。
| Y,X,A,B | Y,X,A,B | ||
| 3317 3324 3331 3342 3355 3368 3986 3993 4213 4221 4231 4243 4255 4267 4279 4416 4422 4432 4446 4623 4633 |
? 2×（4＋3÷3） 3＋3＋3＋1 2×（4＋3÷3） 5＋5×（３÷３） （8-3）×6÷3 3＋6＋9-8 3×3＋9÷9 4＋２＋1＋３ 4×2＋2×1 4＋２＋1＋３ 4×3−4＋2 2×5×（5−4） 4×6−2×7 9＋4×2−7 （4＋1)×(6−2） 4×2＋4−2 4×3＋2−4 4＋6＋4−4 4＋6×（3−2） 4＋6＋3−3 |
4649 4824 4834 6312 6321 6334 6347 6614 6622 6638 6916 6923 7713 7724 8411 8423 8437 8812 8826 9911 9928 |
（6−4）×(9−4) 4＋8＋2−4 8＋3−4÷4 6＋3−1＋2 6＋3−1＋2 6＋3−3＋4 4×7−6×3 (6−1)×(6−4) （6＋２）×2−6 8＋3−6÷6 6＋9＋1−6 6＋9−2−3 7＋7−1−3 2×（4＋7÷7） 8＋4−1−1 8＋2×（4−3） ？ （8＋1）×2−1 ８＋６−8÷2 ？ 9−9＋2＋8 |
というわけで、分数を使わないと、10が作れない組は、1337、3478、1199の３組であることがわかる。そのなかで、全部数字が異なるのは、問題にあった3478しかないこともわかる。
次にタイプ２の式を見る。Y÷(A-B/X)=10を変型するとXY=10(AX-B)となるので、XかYは５の倍数で、XYは１０の倍数である。X＝５から検討しよう。
Y＝２の時,5A-B=1より、(A,B)=(1,4),(2,9)
Y=4のとき5A-B=2より、(A,B)=(1,3),(2,8)
Y=6のとき5A-B=3より、(A,B)=(1,2),(2,7)
Y=8のとき5A-B=4より、(A,B)=(1,1),(2,6)
次にY＝５のとき
X＝２の時,2A-B=1より、(A,B)=(1,1),(2,3)(3,5)(4,7)(5,9)
X＝4の時,4A-B=2より、(A,B)=(1,2),(2,6)
X＝6の時,6A-B=3より、(A,B)=(1,3)(2,9)
X＝8の時,8A-B=4より、(A,B)=(1,4)
となって、１8組ある。同じように他の方法で１０が作れないか見ると
| Y,X,A,B | Y,X,A,B | ||
| 5214 5229 5413 5428 5612 5627 5811 5826 2511 2523 |
5+2+4-1 5+9-2-2 5×4÷(3-1) 5×（8-4-2） 5＋6＋1-2 （7-6）×5×２ ？ 5×8÷(6-2) 2×５×１×１ ２×５×（３ー２） |
2535 2547 2559 4512 4526 6513 6529 8514 |
（５＋５）×(３−２) ５＋７＋2−4 （９−５−２）×５ ４＋５−1＋2 （6＋４−５）×2 （6＋3−１）×５ ５＋２＋９−６ ５×８×１÷４ |
なお、私は友人から聞くまでこの問題を知りませんでしたが、古くからある有名問題であることをあとで知りました。パズルの世界４を最初に書いた時は、タイプ１の式しか気がつかなかったのですが、のちに石野さんや植松さんに１１５８の存在を教えていただいて、タイプ２の式の分析をつけ加えました。この場を借りてお二方には改めて感謝いたします。ありがとうございました。