[初級問題の答え]まず、３つのコインを2つずつ天秤にかけます。これで、３つのコインの重さの順序がわかります。軽い順にA,B,Cとしましょう。４つ目のコインDを、まんなかの重さのコインBと比べます。DがBより重ければCとDを比べ、DがBより軽ければAとDを比べれば、重さの順序が決定します。

[中級問題の答え]４つのコインを重さの順にならべると、４つのものの並べ替えの数、24とおりの場合があります。問題はこの２４とおりを見分けることですが、天秤に一回かけたときの情報量は２ですから、４回では２×２×２×２＝１６通りを見分けられるだけに過ぎません。よって不可能です。

では、問題に答えましょう。4つのコインをA,B,C,Dとします。まず、A,Bの２枚を片方の皿に、C,D の２枚を反対側に乗せ、A+BとC+Dの重さを比べます。

１）釣り合った場合。この場合天秤のそれぞれの皿には、11,14のペアと12,13のペアが乗っているはずです。それぞれの皿に乗っている二つを比べて軽いほうを決めます。軽いものどうしを比べて、軽いほうが11、重いほうが1２、1１と一緒に乗っていたのが1４、残りが1３ということがわかります。

２）釣り合わなかった場合。A+B の方が軽かったとして一般性は失われません。このとき、A,Bは11,12のペアか11,13のペアか、いずれかです。よって、A,Bを比べれば軽いほうが1１とわかります。C,Dには必ず14が含まれていますから、C,Dを比べれば重いほうが1４とわかります。さいごに残った1２と1３の候補を比べれば、どちらが1２でどちらが1３であるかがわかるというわけです。

さて、もう少し、いろいろ考えてみることにしましょう。

　まず、次の問題を解いてみてください。

「５この重さの違うコインを重い順に並べるには、最低何回天秤を使えばいいか」

　重さの順序は120通りです。一方、一回の情報量は2で、2の７乗が128ですから、もっともうまくやれば7回で測ることができるはずです。が、それは可能でしょうか。どうも、わたしには不可能におもえるのですが、もし、おわかりの方は教えてください。→DD++さんが掲示板で教えてくださいました。答はこちら。

　次に、古典的な問題である「一つを除いてすべて重さが同じ場合」を考えてみましょう。この場合、一回の計量で、天秤は釣り合うか、右が下がるか、左が下がるかの3通りを見分けることができますから、n回では3のn乗の場合を見分けることができるはずです。
　まず、重いか軽いかがあらかじめわかっている場合は簡単です。その情報量はたとえば9個のコインであれば9通りの場合があるわけですが、これは2回で見分けられます。重いか軽いかわかっていない場合は、たとえば、コインが13個あれば、すべての場合の数は、13×2＝26とおりあります。3の3乗が27ですから、13個は3回で見分けられるぎりぎりの数のはずです。しかし、実際には、１３枚の場合、重いか軽いかまで含めると、1枚を見分けることは不可能で、１２枚が限界であることが証明されます。重いか軽いかわからなくてよいとすると、１３枚の中から重さの違うコインを特定することができます。そのアルゴリズムを求める問題は、非常に有名なパズルです。改めて書いておきますので、まだやったことのない人はためしに解いてみてください。

「13個のコインのなかに、一個だけ重さの違うコインがまじっている。ただし、他のコインより重いか軽いかはわからない。このコインを天秤を3回だけ使ってみつけだすにはどうしたらいいか」

　もし、正しいとわかっているコインが1枚余分にあれば、重いか軽いかまで見分けることができます。その場合は、重いか軽いかわからなくてよいとすると、１４枚まで可能で、それが限界です。

　同様に、天秤にかけるのが4回では40個が限界です。40個が実際に可能かどうか考えてみてください。

　このほか、重さが２種類あってそれを見分ける問題とか、いろいろ考えられます。

とりあえず２つ出しておきます。

問題ア「７枚の中に重いコインが二つはいっている。天秤を３回使ってこの２つを見つけだしてください」

問題イ「１３枚の中に重いコインが２つはいっている。天秤を４回使ってこの二つを見つけだしてください」

私は解があるかどうかは今の時点ではわかっていませんので、実際には解けないかもしれませんので、あしからず。

　最後になりましたが、この問題については、DD++さんには、いろいろ教えていただきました。この場を借りてお礼申しあげます。ありがとうございました。