ここにある問題は数学と言うよりクイズやパズルのような問題がほとんどです。
ほとんどの問題は小学生でも解けるはずです。中学校の知識が必要なものは＊がついています。
問題１.教科書＊
問題２.東京大学
問題３.日本工業大学＊
問題４.日本大学医学部
問題５.全米数学オリンピック問題６.東京大学		 問題７.東京工業大学*
問題８.京都大学*
問題9. 京都大学　　　
問題10. 一橋大学
問題11. 九州大学
問題12. 自治医科大学		 問題13.日本大学医学部
問題14.早稲田大学*
問題15.京都大学
問題16.京都大学
問題1７京都大学*
問題1８京都大学


問題１8

　1,2,3,4,5の５個の数を一列に並べる。１番目と２番目と３番目の数の和が、３番目と４番目と５番目の数の和と等しくなる確率を求めよ。



２０１０年京都大学理系の問題。並べ替えは１２０通りしかありませんから、すべて書き上げてしまえば小学生でも解けそうです。

＜答＞並んだ数をA,B,C,D,Eと書く。A+B+C=C+D+Eだから、A+B=D+E。５個の数の総和は１５だから、Cは奇数でなくてはならない。Cが奇数になる確率は、３／５。さて、C＝１、３、５のとき、残りの数のうち、左右の和が等しくなるように、２と組み合わさる数は残り３個のうち一つしかないので、等しくなる確率は１／３。よって、求める確率は３／５かける１／３で１／５。


問題１７

　正方形ABCDのABの中点をMとする。対角線AC上を点Pが動く時、角MPBの最大値を求めよ。

２０１０年京都大学理系の問題。表現の仕方は小学生にもわかるように変えています。中学校の知識がいりますね。

＜答＞M、P、Bの３点を通る円を考える。角MPBは弦MBの上の円周角なので、この円の半径が小さいほど大きい。MBを通る円でACと共有点を持つもののうち最も小さいのはACに接する円である。ところで、PがACの中点である時、円は明らかにACに接するので、それが最小の円であり、角MPBの最大値は４５度になることがわかる。

問題１6

　nとnの２乗に２を足したものがともに素数であるような自然数nは一つしかないことを証明せよ。


２００６年京都大学理系の問題です。
＜答＞nが３の倍数でなければ、３で割ったあまりは１か２。つまり、n=3m+1,n=3m+2とかける。nの２乗＋２を計算すると、どちらも３で割り切れることがわかる。よって、nかnの２乗＋２はどちらかが３の倍数。３の倍数で素数は３しかないからn＝３またはn＝１。１は素数でないからn＝３のみである。

問題１５

　１０個の白いビーズと１０個の黒いビーズ計２０個を一本の糸にとおして輪を作る。このとき、どのような配置になろうとも、どこか二ケ所にはさみを入れて、それぞれ黒５個白５個ずつの２つの部分にわけることができることを証明せよ。


２００６年京都大学文系の問題を小学生にも解けるようにしたものです。オリジナルの問題はもっと一般的な形で出されていますが、本質的な考え方は同じです。
＜答＞まず適当な２箇所で切って１０個ずつに分けてみる。黒の数が５個５個なら文句無し。数が違う時は、少ない側に注目して切れ目を一つずらす。すると黒の数は１つ増えるか、１つ減るか、変わらないかである。これをくり返していって１０個ずらした時には、反対側になって黒の数は６個以上のはずである。したがって、どこかで、ちょうど、５個になるところがある。

問題１4

　a,b,cは整数の定数である。等式　（x-a)(x-99)+2=(x-b)(x-c) 　はxに何を代入してもなりたつ。このとき、a,b,cの値の組をすべて求めよ。

早稲田大学商学部の問題。xを含んだ等式は中学校の範囲ですね。
＜答え＞x＝99の時も成り立つはずだから代入すると　2=(99-b)(99-c)。99-bと99-cはともに整数だから、かけて２になるのは、（1,2）,（2,1）,（-1,-2）,（-2,-1）しかない。よって、（b,c)＝（98,97）（97,98）,（100,101）,（101,100）。
前の二つの時はx＝98を代入すると、（98-a）（98-99）＋2＝0より98-a=2。a＝96。
あとの二つの時は、x＝100を代入すると（100-a）（100-99）＋2＝0。a＝102
よって、答えは（96,97,98）（96,98,97）（102,101,100）（102,100,101）。
（本当は十分条件であることも確かめるべきですけどここでは省略します。）トップへ

問題１3

　Ｚ先生は、Ａ君とＢ君を呼び寄せ、次のように言った。
「１以上１３以下の自然数ｘ，ｙ（ｘ≦ｙ）を選び、Ａ君にはｘとｙの積を、Ｂ君にはｘとｙの和を教えます」
そして、積、和をそれぞれに教えた。教えられた積を見てＡ君は言った。
「この情報だけでは、ｘ，ｙがいくつだかわかりません」
教えられた和を見てＢ君は言った。
「この情報だけでは、ｘ，ｙがいくつだかわかりません。でも、Ａ君がｘ，ｙを絶対にわからないということだけはわかります」
その発言を聞いてＡ君は言った。「それを聞いて、ｘ，ｙがわかりました」
その発言を聞いてＢ君も言った。「それを聞いて、ｘ，ｙがわかりました」
このとき、ｘ，ｙの値を求めよ。

日本大学医学部の問題。これは難しいと思います。誘導がついていましたが省略。ただし、「Ｂ君に与えられた和が８以上なら、Ｂ君の最初の発言の後半に矛盾することを示せ」という設問が重要なヒントになっていることだけつけ加えておきます。難しいですが、しらみつぶしにやっていけば、小学生でもできるかもしれません。
＜答え＞Ｂ君の最初の発言の後半部を満たす和というのをしらみつぶしに捜していきます。B君に与えられた和が２のときは＝１＋１、３のときは＝１＋２、以下同様に、４＝１＋３、６＝１＋５、８＝１＋７、９＝２＋７、１０＝３＋７、１１＝４＋７、１２＝５＋７、１３＝６＋７、１４＝７＋７、１５＝７＋８、１６＝７＋９、１７＝７＋１０、１８＝７＋１１、１９＝７＋１２、２０＝７＋１３、２１＝１１＋１０、２２＝１１＋１１、２３＝１１＋１２、２４＝１１＋１３、２５＝１２＋１３という分割をすると、これらの２数については、積を知るだけでｘ，ｙを決められますので、B君の発言にあいません。よって、Ｂ君に与えられた和は、５か７です。つまり、この段階で、Ａ君は、和が５か７であることを知ったわけです。つまり、Ａ君はこの時点で、（ｘ，ｙ）が（１、４）、（２、３）、（１、６）、（２、５）、（３、４）のいずれかであることを知りました。このうち、積を知るだけで数をきめられるのは、（１、４）、（２、５）、（３、４）の３つです。Ｂ君に与えられた和が７だったら、Ｂ君は、（２、５）であるか（３、４）であるか決められません。よって、Ｂ君に与えれらた和は５で、ｘ＝１，ｙ＝４　が答えです。
余談ですが、Ａ君の最初の発言は、何の情報にもなっていませんので、なくても解けます。トップへ

問題１2

　円に外接する正三角形の面積は、その円に内接する正三角形の面積の何倍か。

自治医科大学の問題。これも意味さえわかれば小学生でも簡単。
＜答え＞円はそれに外接する正三角形の各辺の中点で接している。その中点を結ぶと円に内接する正三角形ができる。よって明らかに４倍。トップへ

問題１1

　２０円以上のどんな値段分の切手も、５円切手と６円切手の組み合わせとして買えることを証明せよ。


九州大学工学部の問題。小学生にとっても簡単では？
＜答え＞２０円から２４円まで買えれば、あとはそれぞれに５円ずつ足していけばよい。２０＝５×４、２１＝５×３＋６、２２＝５×２＋６×２、２３＝５＋６×３、２４＝６×４、でどれも買える。トップへ

問題１０

　（１）２つの自然数a,bは、条件、a＜b,(1/a)+(1/b)＜1/4　をみたす。このようなa,bの組み合わせのうち、bのもっとも小さいものをすべて求めよ。
　（２）三つの自然数a,b,cは、条件、a＜b＜c、(1/a)+(1/b)+(1/c)＜1/3　をみたす。このようなa,b,cの組み合わせのうち、cのもっとも小さいものをすべて求めよ。


一橋大学の問題。とにかく順に当てはめればできちゃいますから、小学生でも十分に解けますね。
＜答え＞（１）（1/a)＞(1/b)だから（１/b）は1/４の半分、つまり（1/8）より小さくなくちゃいけません。最小の候補は9ということになります。このときaをさがしてみると、8はもちろんみたしていますが、7は（1/7）＋（１/9）＝（16/63）＞（1/4）でだめ。よってa＝8、b＝9
（２）（1/a)＞(1/b)＞（1/c）だから同様に考えて、cの最小の候補は10です。でも、（1/８）＋（1/9）＋（1/10）＝（242/720）＞（1/3）でだめ。次の候補は11。このときは可能で、上と同様、順に試していけば、a,b,cの組は（8,9,11）（8,10,11）,（9,10,11）となります。トップへ

問題９

　1辺の長さが２の正四面体OABCの辺BC上に点Pをとり、線分BPの長さをxとする。
　（１）三角形OAPの面積をxで表せ。
　（２）PがBC上を動くとき三角形OAPの面積の最小値を求めよ。

京都大学文系の問題です。これも中学校の知識がいりますが、高校入試の問題にしてもいいくらい、やさしいです。原文では１辺の長さが１だったのですが計算しやすいよう２にしました。
＜答え＞△OAPは明らかに底辺がOA＝2の二等辺三角形。よって、面積は底辺（＝２）×高さ÷２で、ちょうど高さに等しくなる。OAの中点をMとおくとPMが高さになりますから、PMを求めればよい。BCの中点をNとすると、PMの２乗＝（OPの２乗）−（OMの２乗）＝{（ONの２乗）＋（PNの２乗）}−1＝３＋{（x-1）の２乗}-１＝2＋{（x-1）の２乗}。面積はこれをルートすればよい。最小になるのはPMが最小になるときだから、OPが最小になるときであり、PN＝０のとき。面積は√2。トップへ

問題８

　三角形ABCを鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが△ABCに合同な四面体が存在することを証明せよ。


京都大学理系の後期問題です。これも「合同」が出てくるので、中学校の知識がいりますね。厳密に証明するのは難しい部分もありますが、中学生ならそう厳密である必要はないでしょう。
＜答え＞BCを最大辺としましょう。△ABCとそれを１８０°回転した三角形を辺BCで張り合わせて平行四辺形ABA'Cを作ります。この平行四辺形を対角線BCで折り返しましょう。鋭角三角形であることから、折ったときのAA'の長さはBCより短く、（角ABA'は角BACより大きいので）開いたときのAA'の長さはBCより大きいことはほぼ明らかです。従って、折った状態から徐々に開いていったとき、AA'の長さがちょうどBCに等しくなる瞬間があるはずです。そのとき、△AA'Bと△AA'Cは三辺が等しいので△ABCに合同です。よって、そのときの四面体AA'BCが求めるものになります。
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問題7

　一辺の長さが１の正三角形を底面とし高さが２の正三角柱を考える。この三角柱を平面で切り、その断面が３辺とも三角柱の側面上にある直角三角形であるようにする。そのような直角三角形の面積が取り得る値の範囲を求めよ。


東京工業大学の問題です。これは中学校の数学ぐらいの知識は必要だと思います。

＜答え＞底面の正三角形の頂点をＡＢＣと名づけ、上面の正三角形の対応する頂点をＡ’Ｂ’Ｃ’とします。長方形ＢＣＣ’Ｂ’が底面になるようにまな板の上に三角柱を置いて切り口が直角三角形になるように包丁で切ると考えます。まな板の面に直角三角形の斜辺が来ると考えて大丈夫です。すると、斜辺が短いほど包丁はまな板に直角になり、長いほど包丁の角度は傾きます（その分、斜辺を底辺とした高さは大きくなる）から斜辺が長いほど面積が大きくなることは明らかです。
もっとも三角形が小さくなるのは、包丁とまな板が直角の時で、この時は明らかに切り口は二等辺三角形ですから、斜辺に対する高さが√3/２の直角二等辺三角形で、面積は４分の３。
　最も大きくなるのは斜辺がＢＣ’に一致する時で、この時、直角三角形の頂点をＤとすると、３平方の定理から、
　ＢＣ’の2乗＝（ＢＤの2乗）＋（ＤＣ’の2乗）
＝（ＢＡの2乗）＋（ＡＤの2乗）＋（ＤＡ’の2乗）＋（Ａ’Ｃ’の2乗）
　ＡＤ＝Ｘとおくと、５＝１＋（Ｘの2乗）＋{（２−Ｘ）の2乗}＋１｡ これを解いて、（ＡＤ＞２−ＡＤとして）Ｘ＝（２＋√２）／２。よって
（ＢＤの2乗）＝１＋（Ｘの2乗）＝（７＋４√２）／４、
（ＤＣ’の2乗）＝１＋{（２−Ｘ）の2乗}＝（７−４√２）／４。
よって、△BC'Dの面積はＢＤ・ＤＣ’／２＝√１７／４。答えは３／４以上√１７／４以下。
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問題6

　円の円周上に何個かの点があって、それぞれ青か赤の色で塗られている。このときこれらの点で区切られる円弧のうち両端の色が違うものの数は偶数であることを証明してください。


２００１年の東大文系の入試問題です。ただし、とても簡単。小学生でも十分にできます。
＜答え＞円の中心から円周上を見ます。両端が違う色の区間のうち、青い点が左にあるものの
隣にある区間は青い点が右にあるもののはずですから、結局、それらは同数です。よって、
両端の色が違う区間は偶数個あります。
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問題５

　４×７の２８個の正方形のマス目をそれぞれ黒か白で塗ります。このとき、２８個の正方形の中から
（１）その４つはすべて黒かあるいはすべて白である。
（２）その４つを結ぶと長方形ができる
という条件を満たすような４つを選び出すことができることを証明してください。

　


これは大学入試ではなく全米数学オリンピックの問題です。とはいっても、小学生にも十分に解けるやさしさですのでご心配なく。なお、実は３×７でも十分です。また、オリジナルの問題には４×６ではこういう命題が成り立たない例をあげることも要求されていますので、あわせて考えてみてください。
＜答え＞　一行目の７個のマス目を考えます。黒か白が４個以上あるはずです。白としましょう。一行目が白である４列にだけ注目します。その４列の２行目に白が２個あれば一行目の白とあわせて長方形ができます。黒が３個以上の場合は、その黒の３列にだけ注目します。その３列の３行目には黒か白が二個以上あります。その二個と、一行目か二行目の黒か白とで長方形ができます。（証明終わり）
なお４×６のますを、成り立たないように一行目から３個ずつ白黒にぬるのは容易にできます。1行めは白白白黒黒黒とぬっておいて、白白白の下は斜めに一つずつ白く塗り、黒黒黒の下も同様に塗ればできます。たての６つの列、４マスを2こずつ塗る塗り方は4C2＝６とおりありますから高校生ならそのことを使ってもよいのですね。それで問題を証明することもできます。
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問題4

　空間にいくつかの点があります。これらの点のうち、どの２点をとっても、二点の間はどちら向きかの矢印で結ばれています。つまり、Aという点と、Bという点があったとすると、A→Bか、A←Bのどちらか一方だけの矢印が必ず存在するというわけです。A→Bという矢印が存在するとき、AからBへ「一回でいける」ということにします。A→B→Cという矢印が存在するとき、AからCへ「二回でいける」ということにします。このとき、ある点をじょうずに選ぶと、その点からは残りのすべての点へ一回か二回でいけるような、そういう点があることを証明して下さい。


2000年度の日本大学医学部の問題。原文のままだと題意がちょっと取りにくいので、かなりアレンジしてあります。また、原問題では、誘導がついていて自然に証明できてしまうようになっていますが、証明も一通りではありませんのでそれも省略してあります。ここでは一例だけ述べます。
＜答え＞各点Ｐから１回か２回で行ける点の数をｎ（Ｐ）と書くことにします。ｎ（Ｐ）が最大になる点Ｐを一つとります。Ｐから１回または２回で行けない点があったとしてそれをＱとします。ＰおよびＰから一回で行ける点とＱを結ぶ矢印はＱを出発点にしているはずですから（さもないと、ＰからＱに２回以内で行ける）、ＰとＰから２回以内で行ける点にはＱから１回または２回で行けるはず、つまりｎ（Ｑ）＞ｎ（Ｐ）。ｎ（Ｐ）は最大であったはずなのでこれはおかしい。つまり、Ｐから２回以内で行けないＱは存在しない。（証明終わり）
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問題3

　一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの中心をOとするとき、三角形ABOの面積を求めよ。


日本工業大学の2000年度の問題です。高校入試の問題としても易しいくらいですが、、。
<答え>ABOの面積は四角形ABGHの4分の１。ABGHは二辺が1と√２の長方形だから
答えは（√２）/4
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　問題2

　いくつかのガラスのコップがあります。いくつかはわかりませんが、４個よりは多いことは確かです。このコップには水が少しずつ入っていますが、その水を全部あわせると１リットルです。さて、一番水の量の少ないコップを選んで、その中に入っている水を、そのコップの次に（つまり２番目に）水の量の少ないコップにうつし、からになったコップを取り除きます。同じことを、コップの数が２個になるまでくり返すことにします。ただし、水の量が同じコップが二つあったら、どちらかを適当に選ぶことにします。この時、次の問いに答えて下さい。
（１）最初に最も水の量の多かったコップの水の量が、３分の１リットルより小さいかったならば、このコップは途中で取り除かれるか、さもなければ最後まで残って水の量が増えていることを証明して下さい。
（２）最初に最も水の量の多かったコップの水の量が、5分の2リットルより多かったならば、このコップは、水の量がかわることなく、最後まで残ることを証明して下さい。
（ただし、より多い、より少ないと言う時は＝の場合を含みません）


＜答え＞（1）残り３個になった時、そのまま残っていたとすると、このコップは（水が３分の１より少ないので）水量が最大でなくなっているはず。従って、この段階では取り除かれるか、水を入れられて量を増やすはずである。（2）問題のコップの水量が最大でなくなる瞬間があったとする。もし、その直前に、問題のコップ以外に三つ以上のコップがあったとする。このとき水量の少なさが一番,二番のコップには合わせて５分の２以上の水が入っていたはずだから（問題のコップにすでに５分の２の水が入っていることを考えあわせると）、下から3番目のコップには、5分の１より少ない水しか入っていないことになる。それより少ないはずの二つのコップの水を合わせても5分の２をこえるはずがない。従って、問題のコップの水量が最大でなくなる瞬間、直前には問題のコップ以外に二つのコップしかなかったはずである。従って問題のコップは最初の状態で最後まで残る。

2001年の東京大学の前期試験の問題だそうです。（ただし、小中学生向きに、問題の書き方を少し
アレンジしてあります。）
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問題1

正四面体ABCDにおいて、頂点Aから三角形BCDに下ろした垂線AEと、頂点Bから三角形ACDに下ろした垂線BFの交点をGとする。
このとき、AG：GEをもとめよ。

＜答え＞Gを頂点とし、各面を底辺とする三角錐は４つありますが、みな合同です。したがってその体積は正四面体ABCDの４分の１。正四面体ABCDと三角錐GBCDは底面を共有していますから、高さの比が体積の比になります。よって、GEはAEの４分の１となり、AG：GE＝３：１が答えです。
もともと中学校でも出てきそうな問題ですが、高校ではベクトルなどの問題としても出てきます。
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